Algèbre Exemples

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{4}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{4}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{10 x^{\frac{4}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{4}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{10 x^{\frac{4}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $3 {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1

Multipliez ${(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.1.4

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{{(5 x^{2} + 1)}^{1} - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(5 x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.3

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{\frac{2 + 4}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.3.4

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{\frac{6}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.3.5

Divisez $6$ par $3$ .

$\frac{\frac{5 x^{2} + 1 - 10 x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.5.4

Soustrayez $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2

Multipliez ${(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Déplacez ${(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} ({(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - 1 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Réécrivez $- (5 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (5 x^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{2} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$