Algèbre Exemples

$100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}} \leq {0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’inégalité.

$\ln (100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}}) \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Étape 2

Développez $\ln (100^{\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}})$ en déplaçant $\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}$ hors du logarithme.

$\frac{3 - 4 x}{2 x + 1} \ln (100) \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Étape 3

Associez $\frac{3 - 4 x}{2 x + 1}$ et $\ln (100)$ .

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$

Étape 4

Développez $\ln ({0.01}^{\frac{5 x - 8}{2 x + 1}})$ en déplaçant $\frac{5 x - 8}{2 x + 1}$ hors du logarithme.

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \frac{5 x - 8}{2 x + 1} \ln (0.01)$

Étape 5

Associez $\frac{5 x - 8}{2 x + 1}$ et $\ln (0.01)$ .

$\frac{(3 - 4 x) \ln (100)}{2 x + 1} \leq \frac{(5 x - 8) \ln (0.01)}{2 x + 1}$

Étape 6

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

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Étape 6.1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$(3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Étape 6.2

Simplifiez $(3 - 4 x) \ln (100)$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(3 - 4 x) \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) \leq (5 x - 8) \ln (0.01)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) \leq 5 x \ln (0.01) - 8 \ln (0.01)$

Étape 6.4

Soustrayez $5 x \ln (0.01)$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 \ln (100) - 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01)$

Étape 6.5

Soustrayez $3 \ln (100)$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Étape 6.6

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (100) - 5 x \ln (0.01)$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (100)$ .

$x (- 4 \ln (100)) - 5 x \ln (0.01) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Étape 6.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \ln (0.01)$ .

$x (- 4 \ln (100)) + x (- 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Étape 6.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 \ln (100)) + x (- 5 \ln (0.01))$ .

$x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$

Étape 6.7

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$ par $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ et simplifiez.

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Étape 6.7.1

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)) \leq - 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)$ par $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 8 \ln (0.01)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)} + \frac{- 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \leq \frac{- 8 \ln (0.01) - 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 \ln (0.01)$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01)) - 3 \ln (100)}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \ln (100)$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01)) - (3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 \ln (0.01)) - (3 \ln (100))$ .

$x \leq \frac{- (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.5

Réécrivez $- (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))$ comme $- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 4 \ln (100) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \ln (100)$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100)) - 5 \ln (0.01)}$

Étape 6.7.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \ln (0.01)$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100)) - (5 \ln (0.01))}$

Étape 6.7.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (100)) - (5 \ln (0.01))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Étape 6.7.3.9

Réécrivez $- (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))$ comme $- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))$ .

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Étape 6.7.3.10

Annulez le facteur commun.

$x \leq \frac{- 1 (8 \ln (0.01) + 3 \ln (100))}{- 1 (4 \ln (100) + 5 \ln (0.01))}$

Étape 6.7.3.11

Réécrivez l’expression.

$x \leq \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{8 \ln (0.01) + 3 \ln (100)}{4 \ln (100) + 5 \ln (0.01)}]$

Étape 8