Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{5} + 2 x^{4} - 4 x^{3}}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{5} + 2 x^{4} - 4 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{4} - 4 x^{3}}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (x) - 4 x^{3}}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (x) + 2 x^{3} (- 2)}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1.1.4

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{3} (x^{2}) + 2 x^{3} (x)$ .

$\frac{2 x^{3} (x^{2} + x) + 2 x^{3} (- 2)}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1.1.5

Factorisez $2 x^{3}$ à partir de $2 x^{3} (x^{2} + x) + 2 x^{3} (- 2)$ .

$\frac{2 x^{3} (x^{2} + x - 2)}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x^{3} ((x - 1) (x + 2))}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} - 48 x^{2} + 42 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x^{2}) + 6 x (- 8 x) + 42 x} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $42 x$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x^{2}) + 6 x (- 8 x) + 6 x (7)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2.1.4

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 8 x)$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x^{2} - 8 x) + 6 x (7)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2.1.5

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2} - 8 x) + 6 x (7)$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x^{2} - 8 x + 7)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 8 x + 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $7$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 7, - 1$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x ((x - 7) (x - 1))} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

$\frac{2 x^{3} (x - 1) (x + 2)}{6 x (x - 7) (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x^{3} (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x^{3} (x - 1))}{6 x (x - 7) (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (2 x^{3} (x - 1))}{6 x (x - 7) (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 7)}^{2}}{x + 2}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3} (x - 1)}{6 x (x - 7) (x - 1)} \cdot {(x - 7)}^{2}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x - 7$ à partir de $6 x (x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1)}{(x - 7) (6 x (x - 1))} \cdot {(x - 7)}^{2}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x - 7$ à partir de ${(x - 7)}^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} (x - 1)}{(x - 7) (6 x (x - 1))} \cdot ((x - 7) (x - 7))$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3} (x - 1)}{(x - 7) (6 x (x - 1))} \cdot ((x - 7) (x - 7))$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3} (x - 1)}{6 x (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} (x - 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} (x - 1))}{6 x (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x (x - 1)$ .

$\frac{2 (x^{3} (x - 1))}{2 (3 x (x - 1))} \cdot (x - 7)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} (x - 1))}{2 (3 x (x - 1))} \cdot (x - 7)$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} (x - 1)}{3 x (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} (x - 1)$ .

$\frac{x (x^{2} (x - 1))}{3 x (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (x - 1)$ .

$\frac{x (x^{2} (x - 1))}{x (3 (x - 1))} \cdot (x - 7)$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x^{2} (x - 1))}{x (3 (x - 1))} \cdot (x - 7)$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} (x - 1)}{3 (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x - 1)}{3 (x - 1)} \cdot (x - 7)$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot (x - 7)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2}}{3} x + \frac{x^{2}}{3} \cdot - 7$

Étape 4

Multipliez $\frac{x^{2}}{3} x$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{x^{2}}{3}$ et $x$ .

$\frac{x^{2} x}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot - 7$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot - 7$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot - 7$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot - 7$

Étape 5

Associez $\frac{x^{2}}{3}$ et $- 7$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \cdot - 7}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot - 7}{3}$

Étape 7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{3} + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{x^{3} - 7 x^{2}}{3}$

Étape 8

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 7 x^{2}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x - 7 x^{2}}{3}$

Étape 8.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 7}{3}$

Étape 8.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} (x - 7)}{3}$