Algèbre Exemples

$y = \frac{y {(y^{3})}^{2}}{y^{3}}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réduisez l’expression $\frac{y {(y^{3})}^{2}}{y^{3}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y {(y^{3})}^{2}$ .

$y = \frac{y ({(y^{3})}^{2})}{y^{3}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y = \frac{y ({(y^{3})}^{2})}{y \cdot y^{2}}$

Étape 1.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{y {(y^{3})}^{2}}{y \cdot y^{2}}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{{(y^{3})}^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{y^{3 \cdot 2}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{y^{6}}{y^{2}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $y^{6}$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{6}$ .

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{y^{4}}{1}$

Étape 1.3.2.4

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y = y^{4}$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$y - y^{4} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y - y^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y - y^{4} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y^{4} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $- y^{4}$ .

$y \cdot 1 + y (- y^{3}) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- y^{3})$ .

$y (1 - y^{3}) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y (1^{3} - y^{3}) = 0$

Étape 2.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$y ((1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y ((1 - y) (1 + 1 y + y^{2})) = 0$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y ((1 - y) (1 + y + y^{2})) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (1 - y) (1 + y + y^{2}) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$1 - y = 0$

$1 + y + y^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 2.5

Définissez $1 - y$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $1 - y$ égal à $0$ .

$1 - y = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $1 - y = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- y = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1$

Étape 2.6

Définissez $1 + y + y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $1 + y + y^{2}$ égal à $0$ .

$1 + y + y^{2} = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $1 + y + y^{2} = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (1 - y) (1 + y + y^{2}) = 0$ vraie.

$y = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$