Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 7 x + 12}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 x^{2} - 18}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 9}{2 x^{2} - 18}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 x^{2} - 18}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 18$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2}) - 18}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 x^{2} + 2 \cdot - 9}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 9$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2} - 9)}$

Étape 3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x^{2} - 3^{2})}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $2 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 3) (2 (x - 3))}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 3) (2 (x - 3))}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{2 (x - 3)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{2 (x - 3)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3) (x - 3)}{2 (x - 3)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 4) \cdot \frac{x - 3}{2 (x - 3)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 4) \cdot \frac{x - 3}{2 (x - 3)}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 4) \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 4.5

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{2} + 2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} + 2$

Étape 5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x + 4}{2}$