Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{2} + x + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 1$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{23})}{4}$

Étape 1.2.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{23})}{4}$

Étape 1.2.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.3

Soustrayez $24$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{23})}{4}$

Étape 1.2.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{23})}{4}$

Étape 1.2.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $\frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.1.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0 + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 3 (0) + 1}$

Étape 2.2.5.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 0 + 1}$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 1}$

Étape 2.2.5.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = \frac{3}{1}$

Étape 2.2.5.3

Divisez $3$ par $1$ .

$y = 3$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 4