Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x}{25} - \frac{1}{x}}{\frac{x - 6}{5} + \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $25 x$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{x}{25} - \frac{1}{x}}{\frac{x - 6}{5} + \frac{1}{x}}$ par $\frac{25 x}{25 x}$ .

$\frac{25 x}{25 x} \cdot \frac{\frac{x}{25} - \frac{1}{x}}{\frac{x - 6}{5} + \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{25 x (\frac{x}{25} - \frac{1}{x})}{25 x (\frac{x - 6}{5} + \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25 x \frac{x}{25} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 x$ .

$\frac{25 (x) \frac{x}{25} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x \frac{x}{25} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot x + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 x (- \frac{1}{x})}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} + 25 x \frac{- 1}{x}}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $x$ à partir de $25 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 25 \frac{- 1}{x}}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + x \cdot 25 \frac{- 1}{x}}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + 25 \cdot - 1}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 25}{25 x \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.8.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x$ .

$\frac{x^{2} - 25}{5 (5 x) \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} - 25}{5 (5 x) \frac{x - 6}{5} + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 25}{5 x (x - 6) + 25 x \frac{1}{x}}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.9.1

Factorisez $x$ à partir de $25 x$ .

$\frac{x^{2} - 25}{5 x (x - 6) + x \cdot 25 \frac{1}{x}}$

Étape 3.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} - 25}{5 x (x - 6) + x \cdot 25 \frac{1}{x}}$

Étape 3.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 25}{5 x (x - 6) + 25}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{5 x (x - 6) + 25}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 x (x - 6) + 25}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x (x - 6) + 25$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x (x - 6)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x (x - 6)) + 25}$

Étape 5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x (x - 6)) + 5 \cdot 5}$

Étape 5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x (x - 6)) + 5 \cdot 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x (x - 6) + 5)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x \cdot x + x \cdot - 6 + 5)}$

Étape 5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x^{2} + x \cdot - 6 + 5)}$

Étape 5.4

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x^{2} - 6 \cdot x + 5)}$

Étape 5.5

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 5.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 ((x - 5) (x - 1))}$

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x - 5) (x - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 (x - 5) (x - 1)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 5}{5 (x - 1)}$