Algèbre Exemples

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Étape 5.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Étape 5.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Étape 6.3

Pour écrire $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4.2

Élevez $x + y$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4.3

Élevez $x + y$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Étape 6.4.6

Multipliez $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ par $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 6.6

Réécrivez $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ en forme factorisée.

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Étape 6.6.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 6.6.2

Additionnez $y + y$ et $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 6.6.3

Additionnez $y$ et $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Associez.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 7.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Étape 8

Factorisez $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ à partir de $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $y - x$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Étape 11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Étape 13

Annulez le facteur commun à ${(x + y)}^{2}$ et $y + x$ .

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Étape 13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Étape 13.2

Factorisez $x + y$ à partir de ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Étape 13.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Étape 13.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Étape 13.3.4

Divisez $(x + y) (2 x)$ par $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Étape 14

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + y (2 x)$

Étape 15

Remettez dans l’ordre.

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Étape 15.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Étape 15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Étape 16

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Étape 16.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$