Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 3} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 3} = 4$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 3} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 3}$ .

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Étape 1.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1 + 2 x^{2}}{x^{2} - 3} = 4$

Étape 1.1.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 3} = 4$

Étape 1.1.1.3

Divisez la fraction $\frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 3}$ en deux fractions.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} = 4$

Étape 1.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} - 4 = 0$

Étape 1.3

Simplifiez $\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} - 4$ .

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Étape 1.3.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.3.1.1

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} + \frac{- 4}{1} = 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{1}{x^{2} - 3} + \frac{- 4 (x^{2} - 3)}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} - 3)}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 1 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{3 x^{2} + 1 - 4 x^{2} + 12}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 + 12}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $12$ .

$\frac{- x^{2} + 13}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.6

Divisez la fraction $\frac{- x^{2} + 13}{x^{2} - 3}$ en deux fractions.

$\frac{- x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{13}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{13}{x^{2} - 3} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} - 3, x^{2} - 3, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x^{2} - 3$ est $x^{2} - 3$ lui-même.

$(x^{2} - 3) = x^{2} - 3$

$(x^{2} - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $x^{2} - 3, x^{2} - 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{2} - 3$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{13}{x^{2} - 3} = 0$ par $x^{2} - 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{x^{2} - 3} + \frac{13}{x^{2} - 3} = 0$ par $x^{2} - 3$ .

$- \frac{x^{2}}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) + \frac{13}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 3$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{x^{2} - 3}$ dans le numérateur.

$\frac{- x^{2}}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) + \frac{13}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{2}}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) + \frac{13}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + \frac{13}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 3$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + \frac{13}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 13 = 0 (x^{2} - 3)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2} - 3$ .

$- x^{2} + 13 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 13$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 13$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 13$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 13}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 13$ par $- 1$ .

$x^{2} = 13$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{13}$

Étape 4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{13}$

Étape 4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{13}$

Étape 4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Forme décimale :

$x = 3.60555127 \dots, - 3.60555127 \dots$