Algèbre Exemples

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2.2.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2.2.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ par $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.4.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 2, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$x + 2, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 2$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ par $x + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ par $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 x = 12 (x + 2)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x - 12 x = 24$

Étape 3.4.1.2

Soustrayez $12 x$ de $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 9 x = 24$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 9 x = 24$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $- 9$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Étape 3.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Étape 3.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{8}{- 3}$

Étape 3.4.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{x (x + 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x + 2) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $0.8$ n’est pas inférieur au côté droit $0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.33$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 2.33$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $15.60671088$ est inférieur au côté droit $27.54820936$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0.1875$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{8}{3}$ Faux

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - \frac{8}{3}$ Faux

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ ou $- 2 < x < 0$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Étape 9