Algèbre Exemples

$\frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $18 a b^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$ par $\frac{18 a b^{2}}{18 a b^{2}}$ .

$\frac{18 a b^{2}}{18 a b^{2}} \cdot \frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{18 a b^{2} (\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} (\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 a b^{2} \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $9 b$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $9 b$ à partir de $18 a b^{2}$ .

$\frac{9 b (2 a b) \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 b (2 a b) \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a b (2 a) + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 a b a + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (a^{1} a) b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (a^{1} a^{1}) b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 a^{1 + 1} b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 a^{2} b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $2 a$ .

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Étape 3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{2 a}$ dans le numérateur.

$\frac{4 a^{2} b + 18 a b^{2} \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.7.2

Factorisez $2 a$ à partir de $18 a b^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} b + 2 a (9 b^{2}) \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a^{2} b + 2 a (9 b^{2}) \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 a^{2} b + 9 b^{2} (- b)}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{2} b}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.9

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 (b^{1} b^{2})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{1 + 2}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun de $3 b^{2}$ .

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Étape 3.12.1

Factorisez $3 b^{2}$ à partir de $18 a b^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{3 b^{2} (6 a) \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{3 b^{2} (6 a) \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a \cdot a + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.13

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 (a^{1} a) + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.14

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 (a^{1} a^{1}) + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{1 + 1} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.17

Annulez le facteur commun de $2 b$ .

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Étape 3.17.1

Factorisez $2 b$ à partir de $18 a b^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 2 b (9 a b) \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 2 b (9 a b) \frac{1}{2 b}}$

Étape 3.17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $b$ à partir de $4 a^{2} b - 9 b^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $b$ à partir de $4 a^{2} b$ .

$\frac{b (4 a^{2}) - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.1.2

Factorisez $b$ à partir de $- 9 b^{3}$ .

$\frac{b (4 a^{2}) + b (- 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b (4 a^{2}) + b (- 9 b^{2})$ .

$\frac{b (4 a^{2} - 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.2

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{b ({(2 a)}^{2} - 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.3

Réécrivez $9 b^{2}$ comme ${(3 b)}^{2}$ .

$\frac{b ({(2 a)}^{2} - {(3 b)}^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a$ et $b = 3 b$ .

$\frac{b ((2 a + 3 b) (2 a - (3 b)))}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{6 a^{2} + 9 a b}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $3 a$ à partir de $6 a^{2} + 9 a b$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3 a$ à partir de $6 a^{2}$ .

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a) + 9 a b}$

Étape 5.1.2

Factorisez $3 a$ à partir de $9 a b$ .

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a) + 3 a (3 b)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a (2 a) + 3 a (3 b)$ .

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a + 3 b)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2 a + 3 b$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a + 3 b)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b (2 a - 3 b)}{3 a}$