Algèbre Exemples

$3 \ln (2) + \ln (8) = 2 \ln (4 x)$ ?

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 \ln (4 x) = 3 \ln (2) + \ln (8)$ .

$2 \ln (4 x) = 3 \ln (2) + \ln (8)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (4 x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \ln (4 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(4 x)}^{2}) = 3 \ln (2) + \ln (8)$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\ln (4^{2} x^{2}) = 3 \ln (2) + \ln (8)$

Étape 2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\ln (16 x^{2}) = 3 \ln (2) + \ln (8)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $3 \ln (2) + \ln (8)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (16 x^{2}) = \ln (2^{3}) + \ln (8)$

Étape 3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\ln (16 x^{2}) = \ln (8) + \ln (8)$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (16 x^{2}) = \ln (8 \cdot 8)$

Étape 3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$\ln (16 x^{2}) = \ln (64)$

Étape 4

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$16 x^{2} = 64$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = 64$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = 64$ par $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{64}{16}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{64}{16}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{16}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $64$ par $16$ .

$x^{2} = 4$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 \ln (2) + \ln (8) = 2 \ln (4 x)$ vrai.

$x = 2$