Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3})}^{x - 5} = {(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5})$ en déplaçant $x - 5$ hors du logarithme.

$(x - 5) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Étape 4

Développez $\ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$ en déplaçant $\frac{3 x}{4}$ hors du logarithme.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x}{4} \ln (\frac{9}{4})$

Étape 5

Associez $\frac{3 x}{4}$ et $\ln (\frac{9}{4})$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x \ln (\frac{9}{4})}{4}$

Étape 6

Réécrivez $\ln (\frac{9}{4})$ comme $\ln (9) - \ln (4)$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (4))}{4}$

Étape 7

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (2^{2}))}{4}$

Étape 8

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - (2 \ln (2)))}{4}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Développez $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (\ln (2) - \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) + 5 \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) \cdot 4 - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 10.2.1.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x \ln (2)$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.3.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.4

Supprimez les parenthèses.

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1.1.5.1

Déplacez $- 20 \ln (2)$ .

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.1.1.5.2

Remettez dans l’ordre $4 x \ln (2)$ et $- 4 x \ln (3)$ .

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez $\frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Étape 10.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))$

Étape 10.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 x (- 2 \ln (2))$

Étape 10.2.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 \cdot - 2 x \ln (2)$

Étape 10.2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) - 6 x \ln (2)$

Étape 10.3

Résolvez $x$ .

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Étape 10.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.3.1.1

Soustrayez $3 x \ln (9)$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) = - 6 x \ln (2)$

Étape 10.3.1.2

Ajoutez $6 x \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 6 x \ln (2) = 0$

Étape 10.3.1.3

Additionnez $4 x \ln (2)$ et $6 x \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = 0$

Étape 10.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.2.1

Soustrayez $20 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3)$

Étape 10.3.2.2

Ajoutez $20 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2)$ .

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Étape 10.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (- 4 \ln (3)) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x \ln (9)$ .

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $10 x \ln (2)$ .

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9))$ .

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2))$ .

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Étape 10.3.4

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ par $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 10.3.4.1

Divisez chaque terme dans $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ par $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

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Étape 10.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 10.3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.2

Factorisez $20$ à partir de $- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ .

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Étape 10.3.4.3.2.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20 \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.2.2

Factorisez $20$ à partir de $20 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.2.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- \ln (3) - 1 (- \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3) - 1 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.6

Réécrivez $- (\ln (3) - \ln (2))$ comme $- 1 (\ln (3) - \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \ln (9)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Étape 10.3.4.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))}$

Étape 10.3.4.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Étape 10.3.4.3.12

Réécrivez $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ comme $- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Étape 10.3.4.3.13

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Étape 10.3.4.3.14

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Forme décimale :

$x = 2$