Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{2} - 5}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1

Factorisez $5 x^{2} - 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) - 5}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (- 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} - 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} - 1^{2})}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.3

Factorisez.

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Étape 1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{5 ((x + 1) (x - 1))}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{- 3 x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 2

Factorisez $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) - 6 x + 9}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 x + 3)}$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} - 2 (x) + 3)}$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}$

Étape 2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}$

Étape 2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}$

Étape 2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 ((- x + 1) (x + 3))}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{5 (x + 1) (x - 1)}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et $- x + 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{5 (x + 1) (- 1 (- x) - 1)}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (x + 1) (- 1 (- x) - 1 (1))}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{5 (x + 1) (- 1 (- x + 1))}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x + 1) (- 1 (- x + 1))}{3 (- x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (x + 1) \cdot (- 1)}{3 (x + 3)}$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$

Étape 6

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$- x + 1$

Étape 7

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $- \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$ .

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Étape 7.1

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 7.3

Remplacez $x$ par $1$ dans $- \frac{5 (x + 1)}{3 (x + 3)}$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Remplacez $x$ par $1$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$- \frac{5 (1 + 1)}{3 (1 + 3)}$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 (1 + 3)}$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 4}$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 4}$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{10}{12}$

Étape 7.3.2.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $12$ .

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Étape 7.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$- \frac{2 (5)}{12}$

Étape 7.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5}{6}$

Étape 7.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(1, - \frac{5}{6})$

Étape 8