Algèbre Exemples

$2^{x} + 2^{- x} = 2$

Étape 1

Réécrivez $2^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = 2$

Étape 2

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 2$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2$

Étape 4

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 2$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{1}{u} = 2$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 u$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 u$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 u$

Étape 4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 1 = 2 u$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez $2 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 2 u = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Réorganisez les termes.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 4.3.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 4.3.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.3.3

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 4.3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 2^{x}$ .

$1 = 2^{x}$

Étape 6

Résolvez $1 = 2^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 1$ .

$2^{x} = 1$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (1)$

Étape 6.3

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (1)$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (2) = 0$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = 0$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = 0$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (2)$ .

$x = 0$