Algèbre Exemples

$\sqrt[4]{\frac{x^{7} y^{12}}{125 x}}$

Étape 1

Réduisez l’expression $\frac{x^{7} y^{12}}{125 x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7} y^{12}$ .

$\sqrt[4]{\frac{x (x^{6} y^{12})}{125 x}}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $125 x$ .

$\sqrt[4]{\frac{x (x^{6} y^{12})}{x \cdot 125}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[4]{\frac{x (x^{6} y^{12})}{x \cdot 125}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[4]{\frac{x^{6} y^{12}}{125}}$

Étape 2

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{x^{6} y^{12}}{125}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{x^{6} y^{12}}}{\sqrt[4]{125}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{x^{6} y^{12}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{6} y^{12}$ comme ${(x y^{3})}^{4} x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{x^{4} x^{2} y^{12}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $y^{12}$ comme ${(y^{3})}^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{x^{4} x^{2} {(y^{3})}^{4}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.1.3

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt[4]{x^{4} {(y^{3})}^{4} x^{2}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $x^{4} {(y^{3})}^{4}$ comme ${(x y^{3})}^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(x y^{3})}^{4} x^{2}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x y^{3} \sqrt[4]{x^{2}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\sqrt[4]{x^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{\sqrt{x^{2}}}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[4]{125}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[4]{125}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{3}}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[4]{125}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{3}}$

Étape 5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{\sqrt[4]{125}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{3}}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{\sqrt[4]{125} {\sqrt[4]{125}}^{3}}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt[4]{125}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{1} {\sqrt[4]{125}}^{3}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{1 + 3}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{{\sqrt[4]{125}}^{4}}$

Étape 5.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{125}}^{4}$ comme $125$ .

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Étape 5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{125}$ comme $125^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{{(125^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{125^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{125^{\frac{4}{4}}}$

Étape 5.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{125^{\frac{4}{4}}}$

Étape 5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{125^{1}}$

Étape 5.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} {\sqrt[4]{125}}^{3}}{125}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{125}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{125^{3}}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt[4]{125^{3}}}{125}$

Étape 6.2

Élevez $125$ à la puissance $3$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt[4]{1953125}}{125}$

Étape 6.3

Réécrivez $1953125$ comme $25^{4} \cdot 5$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $390625$ à partir de $1953125$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt[4]{390625 (5)}}{125}$

Étape 6.3.2

Réécrivez $390625$ comme $25^{4}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt[4]{25^{4} \cdot 5}}{125}$

Étape 6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x y^{3} \sqrt{x} \cdot 25 \sqrt[4]{5}}{125}$

Étape 6.5

Associez les exposants.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $4$ .

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Étape 6.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y^{3} \cdot 25 (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{5})}{125}$

Étape 6.5.1.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $x^{\frac{2}{4}}$ .

$\frac{x y^{3} \cdot 25 (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{5})}{125}$

Étape 6.5.1.3

Réécrivez $x^{\frac{2}{4}}$ comme $\sqrt[4]{x^{2}}$ .

$\frac{x y^{3} \cdot 25 (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{5})}{125}$

Étape 6.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x y^{3} \cdot 25 \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5}}{125}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $25$ et $125$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $25$ à partir de $x y^{3} \cdot 25 \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5}$ .

$\frac{25 (x y^{3} \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5})}{125}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 (x y^{3} \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5})}{25 \cdot 5}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (x y^{3} \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5})}{25 \cdot 5}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y^{3} \sqrt[4]{x^{2} \cdot 5}}{5}$

Étape 7.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x y^{3} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{5}$