Algèbre Exemples

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} = 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$p, p + 1, 1, 1$

Étape 2.2

Comme $p, p + 1, 1, 1$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $p, p + 1, 1, 1$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $p^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $p + 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $p^{1}$ est $p$ lui-même.

$p^{1} = p$

$p$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $p^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$p$

Étape 2.8

Le facteur pour $p + 1$ est $p + 1$ lui-même.

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $p + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$p + 1$

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$p (p + 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ par $p (p + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ par $p (p + 1)$ .

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (p + 1) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $p + 1$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $p + 1$ à partir de $p (p + 1)$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p \cdot p + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $p$ par $p$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $p$ par $1$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p) = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 p + 2 + 3 p - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $2 p$ et $3 p$ .

$5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.2.2

Associez les termes opposés dans $5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $5 p$ de $5 p$ .

$2 - 5 p^{2} + 0 = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $2 - 5 p^{2}$ et $0$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p (p + 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 5 p^{2} = 0 (p \cdot p + p \cdot 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p \cdot 1)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $p$ par $1$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $0$ par $p^{2} + p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 p^{2} = - 2$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 5 p^{2} = - 2$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 p^{2} = - 2$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $p^{2}$ par $1$ .

$p^{2} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$p^{2} = \frac{2}{5}$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$p = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.4.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 4.4.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 4.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 4.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$p = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Étape 4.4.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$p = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Forme décimale :

$p = 0.63245553 \dots, - 0.63245553 \dots$