Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 64}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 15 x^{3} + 56 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} x^{2} - 15 x^{3} + 56 x^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 15 x^{3}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 15 x) + 56 x^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $56 x^{2}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 15 x) + x^{2} \cdot 56}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 15 x)$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} (x^{2} - 15 x) + x^{2} \cdot 56}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 15 x) + x^{2} \cdot 56$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} (x^{2} - 15 x + 56)}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 15 x + 56$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $56$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 8, - 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} ((x - 8) (x - 7))}$

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{5 {(x + 7)}^{2}} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} (x - 8) (x - 7)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(x + 8) (x - 8) ((x + 7) (x - 7))}{5 {(x + 7)}^{2} (x^{2} (x - 8) (x - 7))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (x - 8) ((x + 7) (x - 7))}{5 {(x + 7)}^{2} (x^{2} (x - 8) (x - 7))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 8) ((x + 7) (x - 7))}{5 {(x + 7)}^{2} (x^{2} (x - 7))}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $x + 7$ et ${(x + 7)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x + 8) ((x + 7) (x - 7))$ .

$\frac{(x + 7) ((x + 8) (x - 7))}{5 {(x + 7)}^{2} (x^{2} (x - 7))}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $5 {(x + 7)}^{2} (x^{2} (x - 7))$ .

$\frac{(x + 7) ((x + 8) (x - 7))}{(x + 7) (5 (x + 7) (x^{2} (x - 7)))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 7) ((x + 8) (x - 7))}{(x + 7) (5 (x + 7) (x^{2} (x - 7)))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 8) (x - 7)}{5 (x + 7) (x^{2} (x - 7))}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) (x - 7)}{5 (x + 7) (x^{2} (x - 7))}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 8}{5 (x + 7) (x^{2})}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x + 8}{5 (x + 7) (x^{2})}$ .

$\frac{x + 8}{5 (x^{2}) (x + 7)}$