Algèbre Exemples

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \div \frac{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}{2 p^{2} + 6 p + 18}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(p^{2} - 2^{2}) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = p$ et $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 3^{3}} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = p$ et $b = 3$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + p \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $p$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 \cdot p + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 3.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $p + 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $p + 2$ à partir de $(p + 2) (p - 2) (p + 3)$ .

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$ par $\frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 5

Factorisez $2$ à partir de $2 p^{2} + 6 p + 18$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 p^{2}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $6 p$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 2 (3 p) + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 2 (3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 p^{2} + 2 (3 p)$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p + 9))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Étape 6

Factorisez $p^{2} + p - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) ((p - 2) (p + 3))}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $p - 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $p + 3$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $p^{2} + 3 p + 9$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{p - 3}$