Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} < \frac{2}{x + 2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x + 2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2}{x + 2} < 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - (\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}) < 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x ((x + 1) (x + 2))} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 1) (x + 2))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 1) (x (x + 2))} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x (x + 2))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} - \frac{2 (x (x + 1))}{(x + 2) (x (x + 1))} < 0$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x (x + 1))$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{x (x + 1) (x + 2)} - \frac{2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Développez $(x + 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 2) + 1 (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x (x + 2) - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + x \cdot 2 - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 \cdot x - 2 (x (x + 1))}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x + x \cdot 1)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x^{2} + x \cdot 1)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 (x^{2} + x)}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2} + 0}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 2 x^{2}}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 - 2 x^{2}}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.6

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 3 x + 2 - 2 x^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 + 0}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $3 x + 2$ et $0$ .

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - 1$

$x = - 2$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, - \frac{2}{3}, - 1, - 2$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 2}{x (x + 1) (x + 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 10.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 10.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, - 2$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$x > 0$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{(- 4) + 1} < \frac{2}{(- 4) + 2}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 0.58\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 1.5} + \frac{1}{(- 1.5) + 1} < \frac{2}{(- 1.5) + 2}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 2.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.83$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.83$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 0.83} + \frac{1}{(- 0.83) + 1} < \frac{2}{(- 0.83) + 2}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $4.67753366$ n’est pas inférieur au côté droit $1.\overline{709401}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.33$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $- 0.33$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 0.33} + \frac{1}{(- 0.33) + 1} < \frac{2}{(- 0.33) + 2}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 1.53776571$ est inférieur au côté droit $1.19760479$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) + 1} < \frac{2}{(2) + 2}$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $0.8\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < - 1$ ou $- \frac{2}{3} < x < 0$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 < x < - 1 or - \frac{2}{3} < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- 2, - 1) \cup (- \frac{2}{3}, 0)$

Étape 15