Algèbre Exemples

${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{3} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $i$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{2} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3}) + \frac{5 i}{3} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2}$ par $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.1.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{1}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 i}{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2}$ par $\frac{5 i}{3}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} (5 i)}{2 \cdot 3} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} (5 i)}{6} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.4

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{5 i}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $\frac{5 i}{3}$ par $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{3 \cdot 2} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$

Étape 3.1.6

Multipliez $\frac{5 i}{3} \cdot \frac{5 i}{3}$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $\frac{5 i}{3}$ par $\frac{5 i}{3}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{5 i (5 i)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 i i}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 (i^{1} i)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 (i^{1} i^{1})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 i^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 i^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.6.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 i^{2}}{9}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{25 \cdot - 1}{9}$

Étape 3.1.8

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{- 25}{9}$

Étape 3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} - \frac{25}{9}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{25}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{25}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36} - \frac{25}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36} - \frac{25 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.4.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36} - \frac{25 \cdot 4}{36} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \cdot 9 - 25 \cdot 4}{36} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45 - 25 \cdot 4}{36} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 25$ par $4$ .

$\frac{45 - 100}{36} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $100$ de $45$ .

$\frac{- 55}{36} + \frac{5 \sqrt{5} i}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 55}{36} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6} + \frac{5 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 55}{36} + \frac{10 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{55}{36} + \frac{10 i \sqrt{5}}{6}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 i \sqrt{5}$ .

$- \frac{55}{36} + \frac{2 (5 i \sqrt{5})}{6}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{55}{36} + \frac{2 (5 i \sqrt{5})}{2 (3)}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{55}{36} + \frac{2 (5 i \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{55}{36} + \frac{5 i \sqrt{5}}{3}$