Algèbre Exemples

$\frac{3}{x - 2} + 6 = \sqrt{x - 2} + 8$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + 6$

Étape 2

Résolvez $\sqrt{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{3}{x - 2} + 6$ .

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Étape 2.1.1

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + \frac{6 (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 6 (x - 2)$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.1.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 (x - 2)$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 3 (2 (x - 2))}{x - 2}$

Étape 2.1.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (2 (x - 2))$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 (x - 2))}{x - 2}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{x - 2}$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x - 4)}{x - 2}$

Étape 2.1.3.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2}$

Étape 2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x - 2} = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{1} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} + \frac{- 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3) - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 2}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.5

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x + 16}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.6

Soustrayez $8 x$ de $6 x$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x - 9 + 16}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.7

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x + 7}{x - 2})}^{2}$

Étape 4.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{- 2 x + 7}{x - 2}$ .

$x - 2 = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, {(x - 2)}^{2}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x - 2)}^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ par ${(x - 2)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ par ${(x - 2)}^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x {(x - 2)}^{2} = {(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez ${(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Réécrivez ${(- 2 x + 7)}^{2}$ comme $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ .

$x {(x - 2)}^{2} = (- 2 x + 7) (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.2

Développez $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x + 7) + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.4

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.1.6

Multipliez $7$ par $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.3.2

Soustrayez $14 x$ de $- 14 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Étape 5.4.1.1.4

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 ((x - 2) (x - 2))$

Étape 5.4.1.1.5

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 5.4.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 5.4.1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 5.4.1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 5.4.1.1.6.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 5.4.1.1.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 5.4.1.1.6.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 5.4.1.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4$

Étape 5.4.1.1.8

Simplifiez

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Étape 5.4.1.1.8.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4$

Étape 5.4.1.1.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 8$

Étape 5.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.4.1.2.1

Additionnez $4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 28 x + 49 - 8 x + 8$

Étape 5.4.1.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 28 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 49 + 8$

Étape 5.4.1.2.3

Additionnez $49$ et $8$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 57$

Étape 5.4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.2.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} = - 36 x + 57$

Étape 5.4.2.2

Ajoutez $36 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.3.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$x ((x - 2) (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x (x^{2} - 4 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.5

Simplifiez

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Étape 5.4.2.3.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.3.5.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.3.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.5.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{3} - 4 x \cdot x + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.3.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.4

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 36 x = 57$

Étape 5.4.2.5

Additionnez $4 x$ et $36 x$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x = 57$

Étape 5.4.3

Soustrayez $57$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57 = 0$

Étape 5.4.4

Factorisez $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.4.4.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

$q = \pm 1$

Étape 5.4.4.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

Étape 5.4.4.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.4.4.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Étape 5.4.4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Étape 5.4.4.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 10 \cdot 9 + 40 \cdot 3 - 57$

Étape 5.4.4.3.4

Multipliez $- 10$ par $9$ .

$27 - 90 + 40 \cdot 3 - 57$

Étape 5.4.4.3.5

Soustrayez $90$ de $27$ .

$- 63 + 40 \cdot 3 - 57$

Étape 5.4.4.3.6

Multipliez $40$ par $3$ .

$- 63 + 120 - 57$

Étape 5.4.4.3.7

Additionnez $- 63$ et $120$ .

$57 - 57$

Étape 5.4.4.3.8

Soustrayez $57$ de $57$ .

$0$

Étape 5.4.4.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57}{x - 3}$

Étape 5.4.4.5

Divisez $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ par $x - 3$ .

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Étape 5.4.4.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$40 x$

$57$

Étape 5.4.4.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$

Étape 5.4.4.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 5.4.4.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 5.4.4.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Étape 5.4.4.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Étape 5.4.4.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Étape 5.4.4.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Étape 5.4.4.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{2} + 21 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Étape 5.4.4.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$

Étape 5.4.4.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Étape 5.4.4.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $19 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Étape 5.4.4.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							+	$19 x$	-	$57$

Étape 5.4.4.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $19 x - 57$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$

Étape 5.4.4.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$
										$0$

Étape 5.4.4.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 7 x + 19$

Étape 5.4.4.6

Écrivez $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$

Étape 5.4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Étape 5.4.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.4.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.4.7

Définissez $x^{2} - 7 x + 19$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.7.1

Définissez $x^{2} - 7 x + 19$ égal à $0$ .

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Étape 5.4.7.2

Résolvez $x^{2} - 7 x + 19 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 7$ et $c = 19$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 19)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.4.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.7.2.3.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 19$ .

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Étape 5.4.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $19$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 76}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.3

Soustrayez $76$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.4.7.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$ vraie.

$x = 3, \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$