Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} - 18}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 18$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 18}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot - 9$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3^{2})}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} x^{2} + 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) - 3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x^{2} + 2 x) + x^{2} \cdot - 3} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 2 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x^{2} + 2 x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} ((x - 1) (x + 3))} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 11 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 10, - 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 10) (x - 1)}{x^{2} - 13 x + 30}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 13 x + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 10, - 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x + 3) (x - 3)}{x^{2} (x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 10) (x - 1)}{(x - 10) (x - 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{2 (x + 3) (x - 3) ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) (x + 3) ((x - 10) (x - 3))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 3) (x - 3) ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) (x + 3) ((x - 10) (x - 3))}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 (x - 3)) ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) ((x - 10) (x - 3))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 3) ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) ((x - 10) (x - 3))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2) ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) (x - 10)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x - 10$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((x - 10) (x - 1))}{x^{2} (x - 1) (x - 10)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{2}}$