Algèbre Exemples

$\frac{\frac{25}{x} - x}{\frac{x - 8}{15} + \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x \cdot 15$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{25}{x} - x}{\frac{x - 8}{15} + \frac{1}{x}}$ par $\frac{x \cdot 15}{x \cdot 15}$ .

$\frac{x \cdot 15}{x \cdot 15} \cdot \frac{\frac{25}{x} - x}{\frac{x - 8}{15} + \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x \cdot 15 (\frac{25}{x} - x)}{x \cdot 15 (\frac{x - 8}{15} + \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 15 \frac{25}{x} + x \cdot 15 (- x)}{x \cdot 15 \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 15$ .

$\frac{x (15) \frac{25}{x} + x \cdot 15 (- x)}{x \cdot 15 \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 15 \frac{25}{x} + x \cdot 15 (- x)}{x \cdot 15 \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \cdot 25 + x \cdot 15 (- x)}{x \cdot 15 \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Multipliez $15$ par $25$ .

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{x \cdot 15 \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $15$ à partir de $x \cdot 15$ .

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{15 \cdot x \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{15 \cdot x \frac{x - 8}{15} + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{x (x - 8) + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 15$ .

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{x (x - 8) + x (15) \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{x (x - 8) + x \cdot 15 \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{375 + x \cdot 15 (- x)}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{375 + x \cdot x \cdot 15 \cdot - 1}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{375 + x^{2} \cdot 15 \cdot - 1}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.2

Déplacez $15$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{375 + 15 \cdot x^{2} \cdot - 1}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{375 - 15 x^{2}}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.4

Réécrivez $375 - 15 x^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Factorisez $15$ à partir de $375 - 15 x^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $15$ à partir de $375$ .

$\frac{15 (25) - 15 x^{2}}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $15$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$\frac{15 (25) + 15 (- x^{2})}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $15$ à partir de $15 (25) + 15 (- x^{2})$ .

$\frac{15 (25 - x^{2})}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{15 (5^{2} - x^{2})}{x (x - 8) + 15}$

Étape 4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{15 (5 + x) (5 - x)}{x (x - 8) + 15}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 (5 + x) (5 - x)}{x \cdot x + x \cdot - 8 + 15}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{15 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} + x \cdot - 8 + 15}$

Étape 5.3

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{15 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} - 8 \cdot x + 15}$

Étape 5.4

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 5.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{15 (5 + x) (5 - x)}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $5 - x$ et $x - 5$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{15 (5 + x) (- 1 (- 5) - x)}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{15 (5 + x) (- 1 (- 5) - (x))}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{15 (5 + x) (- 1 (- 5 + x))}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{15 (5 + x) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 (5 + x) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 (5 + x) \cdot (- 1)}{x - 3}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{- 15 (5 + x)}{x - 3}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 (5 + x)}{x - 3}$