Algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} - 1} + 1$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} - 1^{2}} + 1$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3}{(x + 1) (x - 1)} + 1$

Étape 2

Associez en une fraction.

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{3 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 + x^{2} - x + x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 0 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)}$