Algèbre Exemples

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x - 1}{2} - \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $2 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x - 1}{2} - \frac{1}{x}}$ par $\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x - 1}{2} - \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{2 x^{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{2 x^{2} (\frac{x - 1}{2} - \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} \frac{1}{x} + 2 x^{2} \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x) \frac{1}{x} + 2 x^{2} \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 x) \frac{1}{x} + 2 x^{2} \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 2 x^{2} \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x + x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}}}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 2}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x + 2}{2 (x^{2}) \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 2}{2 x^{2} \frac{x - 1}{2} + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) + 2 x^{2} (- \frac{1}{x})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) + 2 x^{2} \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) + x (2 x) \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) + x (2 x) \frac{- 1}{x}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) + 2 x \cdot - 1}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x + 2}{x^{2} (x - 1) - 2 x}$

Étape 4

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2}{x^{2} (x - 1) - 2 x}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2} (x - 1) - 2 x}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x^{2} (x - 1) - 2 x}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 1) - 2 x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x (x - 1)) - 2 x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x (x - 1)) + x \cdot - 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (x - 1)) + x \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x (x - 1) - 2)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x + 1)}{x (x \cdot x + x \cdot - 1 - 2)}$

Étape 5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x^{2} + x \cdot - 1 - 2)}$

Étape 5.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x^{2} - 1 \cdot x - 2)}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x (x^{2} - x - 2)}$

Étape 5.6

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 5.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x + 1)}{x ((x - 2) (x + 1))}$

$\frac{2 (x + 1)}{x (x - 2) (x + 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 1)}{x (x - 2) (x + 1)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x (x - 2)}$