Algèbre Exemples

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ .

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

Étape 4.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

Étape 4.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Simplifiez ${(e^{y} - x)}^{2}$ .

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Étape 4.4.3.1.1

Réécrivez ${(e^{y} - x)}^{2}$ comme $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ .

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

Étape 4.4.3.1.2

Développez $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

Étape 4.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

Étape 4.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Étape 4.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.1.3.1.1

Multipliez $e^{y}$ par $e^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Étape 4.4.3.1.3.1.1.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Étape 4.4.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

Étape 4.4.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 4.4.3.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.3.1.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 4.4.3.1.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.2

Soustrayez $x e^{y}$ de $- e^{y} x$ .

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Étape 4.4.3.1.3.2.1

Déplacez $e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

Étape 4.4.3.1.3.2.2

Soustrayez $x e^{y}$ de $- x e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

Étape 4.5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

Étape 4.5.2.2

Associez les termes opposés dans $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ .

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Étape 4.5.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

Étape 4.5.2.2.2

Additionnez $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ et $0$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

Étape 4.5.3

Soustrayez $e^{2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

Étape 4.5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ par $- 2 e^{y}$ et simplifiez.

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Étape 4.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ par $- 2 e^{y}$ .

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 4.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $e^{2 y}$ et $e^{y}$ .

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Étape 4.5.4.3.1.2.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- e^{2 y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

Étape 4.5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- 2 e^{y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Étape 4.5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Étape 4.5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

Étape 4.5.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$