Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ comme une équation.

$y = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ par $\frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})}$ .

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})} \cdot \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 2.1.2

Associez.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (\frac{1}{x} - 1)}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Étape 2.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $1 + \frac{1}{x - 1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}$ dans le numérateur.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $1 + \frac{1}{x - 1}$ à partir de $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Étape 2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x - 1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Étape 2.4.2

Associez.

$y = \frac{(x - 1) (1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1)}$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 1 + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x \cdot x - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x - 1 + 1}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.7.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x + 0}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.7.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.8

Multipliez $x^{2} - x$ par $\frac{x}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x^{2} - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 2.7.9.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x (x - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.2

Associez les exposants.

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Étape 2.7.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x^{1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1 + 1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.10

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.7.10.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.10.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + x^{2} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.11

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - 1 \cdot x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.12

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.13

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = \frac{x + 0 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.14

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = \frac{x - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.15

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2}$ .

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Étape 2.7.15.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{1} - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.15.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.15.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.7.15.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.1

Factorisez $(x - 1) x$ à partir de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.1.1

Factorisez $(x - 1) x$ à partir de $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.2

Factorisez $(x - 1) x$ à partir de $(x - 1) x \cdot - 1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)}$

Étape 2.8.1.3

Factorisez $(x - 1) x$ à partir de $(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 - 1)}$

Étape 2.8.2

Multipliez $1 + \frac{1}{x - 1}$ par $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1} - 1)}$

Étape 2.8.3

Associez les termes opposés dans $1 + \frac{1}{x - 1} - 1$ .

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Étape 2.8.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (0 + \frac{1}{x - 1})}$

Étape 2.8.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x \frac{1}{x - 1}}$

Étape 2.8.4

Associez $\frac{1}{x - 1}$ et $x$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $1 - x$ et $x - 1$ .

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Étape 2.9.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y = \frac{x (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9.5

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.9.6

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \cdot (- 1)}{\frac{x}{x - 1}}$

Étape 2.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = x (- 1) \frac{x - 1}{x}$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$y = x \cdot - 1 \frac{x - 1}{x}$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$y = - (x - 1)$

Étape 2.12

Appliquez la propriété distributive.

$y = - x - - 1$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - x + 1$