Algèbre Exemples

$\sqrt{y^{2} + 4} = \sqrt{4 y}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y^{2} + 4}}^{2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} + 4}$ comme ${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} + 4)}^{1} = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$y^{2} + 4 = {\sqrt{4 y}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${\sqrt{4 y}}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 = {\sqrt{2^{2} y}}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y^{2} + 4 = {(2 \sqrt{y})}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{y}$ .

$y^{2} + 4 = 2^{2} {\sqrt{y}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 4 = 4 {\sqrt{y}}^{2}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + 4 = 4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + 4 = 4 y^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 4 = 4 y^{1}$

Étape 2.3.1.4.5

Simplifiez

$y^{2} + 4 = 4 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 4 - 4 y = 0$

Étape 3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.1

Réorganisez les termes.

$y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + 2^{2} = 0$

Étape 3.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Étape 3.2.4

Réécrivez le polynôme.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 2$ .

${(y - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Définissez le $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$