Algèbre Exemples

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 x^{2} - 60 x - 900} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x^{2} - 60 x - 900$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x^{2}) - 60 x - 900} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $15$ à partir de $- 60 x$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x^{2}) + 15 (- 4 x) - 900} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $15$ à partir de $- 900$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 x^{2} + 15 (- 4 x) + 15 \cdot - 60} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1.1.4

Factorisez $15$ à partir de $15 x^{2} + 15 (- 4 x)$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x^{2} - 4 x) + 15 \cdot - 60} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1.1.5

Factorisez $15$ à partir de $15 (x^{2} - 4 x) + 15 \cdot - 60$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x^{2} - 4 x - 60)} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 60$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 60$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 10, 6$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 ((x - 10) (x + 6))} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 7 x^{4} - 30 x^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} x^{2} - 7 x^{4} - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 7 x^{4}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 7 x) - 30 x^{3}}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 30 x^{3}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- 7 x) + x^{3} \cdot - 30}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 7 x)$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x^{2} - 7 x) + x^{3} \cdot - 30}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{2} - 7 x) + x^{3} \cdot - 30$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x^{2} - 7 x - 30)}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 7 x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 10, 3$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} ((x - 10) (x + 3))}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 9 x^{3} + 18 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} x^{2} + 9 x^{3} + 18 x^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (9 x) + 18 x^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $18 x^{2}$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} x^{2} + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 18}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (9 x)$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} (x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 18}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 18$ .

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} (x^{2} + 9 x + 18)}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $9$ .

$3, 6$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} ((x + 3) (x + 6))}$

$\frac{15 {(x + 6)}^{2}}{15 (x - 10) (x + 6)} \cdot \frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{x^{2} (x + 3) (x + 6)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{15 {(x + 6)}^{2} (x^{3} (x - 10) (x + 3))}{15 (x - 10) (x + 6) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 {(x + 6)}^{2} (x^{3} (x - 10) (x + 3))}{15 (x - 10) (x + 6) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + 6)}^{2} (x^{3} (x - 10) (x + 3))}{((x - 10) (x + 6)) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 6)}^{2}$ et $x + 6$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{2} (x^{3} (x - 10) (x + 3))$ .

$\frac{(x + 6) ((x + 6) (x^{3} (x - 10) (x + 3)))}{((x - 10) (x + 6)) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $((x - 10) (x + 6)) (x^{2} (x + 3) (x + 6))$ .

$\frac{(x + 6) ((x + 6) (x^{3} (x - 10) (x + 3)))}{(x + 6) ((x - 10) (x^{2} (x + 3) (x + 6)))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) ((x + 6) (x^{3} (x - 10) (x + 3)))}{(x + 6) ((x - 10) (x^{2} (x + 3) (x + 6)))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 6) (x^{3} (x - 10) (x + 3))}{(x - 10) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x^{3} (x - 10) (x + 3))}{(x - 10) (x^{2} (x + 3) (x + 6))}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} (x - 10) (x + 3)}{(x - 10) (x^{2} (x + 3))}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (x - 10) (x + 3)$ .

$\frac{x^{2} ((x (x - 10)) (x + 3))}{(x - 10) (x^{2} (x + 3))}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $(x - 10) (x^{2} (x + 3))$ .

$\frac{x^{2} ((x (x - 10)) (x + 3))}{x^{2} ((x - 10) (x + 3))}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} ((x (x - 10)) (x + 3))}{x^{2} ((x - 10) (x + 3))}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x (x - 10)) (x + 3)}{(x - 10) (x + 3)}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $x - 10$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 10) (x + 3)}{(x - 10) (x + 3)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.7.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x$