Algèbre Exemples

$\ln (x) - (\ln (x + 1) + \ln (x - 1))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x) - \ln ((x + 1) (x - 1))$

Étape 1.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) - \ln (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) - \ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) - \ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 1.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\ln (x) - \ln (x^{2} - 1)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}})$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$