Algèbre Exemples

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{d^{2} - 1} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{- d^{2} + 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{d^{2} - 1^{2}} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{- d^{2} + 1}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = d$ et $b = 1$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{- d^{2} + 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{- d^{2} + 1^{2}}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $- d^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{1^{2} - d^{2}}$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = d$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(1 + d) (1 - d)}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (1 - d)}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (- 1) - d)}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- d$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (- 1) - (d))}$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (d)$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (- 1 + d))}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (d - 1))}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (d - 1))}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(d + 1) (d - 1) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{- d^{2} - 6 d + 4}{(d + 1) (d - 1)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- d^{2} - 6 d + 4) \cdot - 1}{(d + 1) (d - 1) \cdot - 1} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (d - 1))}$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $(d + 1) (d - 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(- d^{2} - 6 d + 4) \cdot - 1}{- (d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{(d + 1) (- 1 (d - 1))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(d + 1) (- 1 (d - 1))$ .

$\frac{(- d^{2} - 6 d + 4) \cdot - 1}{- (d + 1) (d - 1)} - \frac{- 2 d^{2} - 6 d + 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- d^{2} - 6 d + 4) \cdot - 1 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- d^{2} \cdot - 1 - 6 d \cdot - 1 + 4 \cdot - 1 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $- d^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 d^{2} - 6 d \cdot - 1 + 4 \cdot - 1 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $d^{2}$ par $1$ .

$\frac{d^{2} - 6 d \cdot - 1 + 4 \cdot - 1 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{d^{2} + 6 d + 4 \cdot - 1 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d^{2} + 6 d - 4 - (- 2 d^{2} - 6 d + 5)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} + 6 d - 4 - (- 2 d^{2}) - (- 6 d) - 1 \cdot 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d^{2} + 6 d - 4 + 2 d^{2} - (- 6 d) - 1 \cdot 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{d^{2} + 6 d - 4 + 2 d^{2} + 6 d - 1 \cdot 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.4.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{d^{2} + 6 d - 4 + 2 d^{2} + 6 d - 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.5

Additionnez $d^{2}$ et $2 d^{2}$ .

$\frac{3 d^{2} + 6 d - 4 + 6 d - 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.6

Additionnez $6 d$ et $6 d$ .

$\frac{3 d^{2} + 12 d - 4 - 5}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.7

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{3 d^{2} + 12 d - 9}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.8

Factorisez $3$ à partir de $3 d^{2} + 12 d - 9$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3 d^{2}$ .

$\frac{3 (d^{2}) + 12 d - 9}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.8.2

Factorisez $3$ à partir de $12 d$ .

$\frac{3 (d^{2}) + 3 (4 d) - 9}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.8.3

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{3 d^{2} + 3 (4 d) + 3 \cdot - 3}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.8.4

Factorisez $3$ à partir de $3 d^{2} + 3 (4 d)$ .

$\frac{3 (d^{2} + 4 d) + 3 \cdot - 3}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 6.8.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (d^{2} + 4 d) + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 (d^{2} + 4 d - 3)}{- (d + 1) (d - 1)}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (d^{2} + 4 d - 3)}{(d + 1) (d - 1)}$