Algèbre Exemples

${(a + b)}^{3} - 8 b^{3}$

Étape 1

Réécrivez $8 b^{3}$ comme ${(2 b)}^{3}$ .

${(a + b)}^{3} - {(2 b)}^{3}$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a + b$ et $b = 2 b$ .

$(a + b - (2 b)) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(a + b - 2 b) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.2

Soustrayez $2 b$ de $b$ .

$(a - b) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.3

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$(a - b) ((a + b) (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.4

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a (a + b) + b (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a \cdot a + a b + b (a + b) + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + b a + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.5.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 3.5.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a b + a b + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a + b) (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (2 b) + b (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + b (2 b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b \cdot b + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.9

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1

Déplacez $b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 (b \cdot b) + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + {(2 b)}^{2})$

Étape 3.10

Appliquez la règle de produit à $2 b$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + 2^{2} b^{2})$

Étape 3.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(a - b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a b + 2 b^{2} + 4 b^{2})$

Étape 3.12

Additionnez $2 a b$ et $2 a b$ .

$(a - b) (a^{2} + b^{2} + 4 a b + 2 b^{2} + 4 b^{2})$

Étape 3.13

Additionnez $b^{2}$ et $2 b^{2}$ .

$(a - b) (a^{2} + 3 b^{2} + 4 a b + 4 b^{2})$

Étape 3.14

Additionnez $3 b^{2}$ et $4 b^{2}$ .

$(a - b) (a^{2} + 7 b^{2} + 4 a b)$