Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{3} + 20 x^{2} - 160 x}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3} + 20 x^{2} - 160 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$\frac{5 x (x^{2}) + 20 x^{2} - 160 x}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5 x$ à partir de $20 x^{2}$ .

$\frac{5 x (x^{2}) + 5 x (4 x) - 160 x}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5 x$ à partir de $- 160 x$ .

$\frac{5 x (x^{2}) + 5 x (4 x) + 5 x (- 32)}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1.1.4

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (x^{2}) + 5 x (4 x)$ .

$\frac{5 x (x^{2} + 4 x) + 5 x (- 32)}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1.1.5

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (x^{2} + 4 x) + 5 x (- 32)$ .

$\frac{5 x (x^{2} + 4 x - 32)}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x ((x - 4) (x + 8))}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $15 x^{4} + 210 x^{3} + 720 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x^{2}) + 210 x^{3} + 720 x^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $210 x^{3}$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x^{2}) + 15 x^{2} (14 x) + 720 x^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $720 x^{2}$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x^{2}) + 15 x^{2} (14 x) + 15 x^{2} (48)}$

Étape 3.1.4

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $15 x^{2} (x^{2}) + 15 x^{2} (14 x)$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x^{2} + 14 x) + 15 x^{2} (48)}$

Étape 3.1.5

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $15 x^{2} (x^{2} + 14 x) + 15 x^{2} (48)$ .

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x^{2} + 14 x + 48)}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 14 x + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $14$ .

$6, 8$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} ((x + 6) (x + 8))}$

$\frac{5 x (x - 4) (x + 8)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x + 6) (x + 8)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $5 x (x + 8)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5 x (x + 8)$ à partir de $5 x (x - 4) (x + 8)$ .

$\frac{5 x (x + 8) (x - 4)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{15 x^{2} (x + 6) (x + 8)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $5 x (x + 8)$ à partir de $15 x^{2} (x + 6) (x + 8)$ .

$\frac{5 x (x + 8) (x - 4)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{5 x (x + 8) (3 x (x + 6))}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x (x + 8) (x - 4)}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{5 x (x + 8) (3 x (x + 6))}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{3 x (x + 6)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{x - 4}{x - 6} \cdot \frac{(x - 6) (x + 6)}{3 x (x + 6)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{x - 6} \cdot \frac{(x - 6) (x + 6)}{3 x (x + 6)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x - 4) \cdot \frac{x + 6}{3 x (x + 6)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$(x - 4) \cdot \frac{x + 6}{3 x (x + 6)}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$(x - 4) \cdot \frac{1}{3 x}$

Étape 4.4

Multipliez $x - 4$ par $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{x - 4}{3 x}$