Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{6 x^{2} - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{6 x^{2} - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 8 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x \cdot x - 8 x} \cdot \frac{6 x^{2} - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x \cdot x + x \cdot - 8} \cdot \frac{6 x^{2} - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 8$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 x^{2} - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 102 x + 432$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x^{2}) - 102 x + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 102 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x^{2}) + 6 (- 17 x) + 432}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $432$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 x^{2} + 6 (- 17 x) + 6 \cdot 72}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 17 x)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x^{2} - 17 x) + 6 \cdot 72}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 17 x) + 6 \cdot 72$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x^{2} - 17 x + 72)}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 17 x + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $- 17$ .

$- 9, - 8$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 ((x - 9) (x - 8))}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 x^{2} - 20 x - 144}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 20 x - 144$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x^{2}) - 20 x - 144}$

Étape 4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x^{2}) + 4 (- 5 x) - 144}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 144$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 x^{2} + 4 (- 5 x) + 4 \cdot - 36}$

Étape 4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 5 x)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x^{2} - 5 x) + 4 \cdot - 36}$

Étape 4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 5 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x^{2} - 5 x - 36)}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 5 x - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 ((x - 9) (x + 4))}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x - 9) (x + 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x - 9) (x + 4)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $4 (x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{(x + 4) (4 (x - 9))}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{(x + 4) (4 (x - 9))}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x (x - 8)} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x - 9)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x - 8$ à partir de $x (x - 8)$ .

$\frac{x + 1}{(x - 8) x} \cdot \frac{6 (x - 9) (x - 8)}{4 (x - 9)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x - 8$ à partir de $6 (x - 9) (x - 8)$ .

$\frac{x + 1}{(x - 8) x} \cdot \frac{(x - 8) (6 (x - 9))}{4 (x - 9)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x - 8) x} \cdot \frac{(x - 8) (6 (x - 9))}{4 (x - 9)}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{6 (x - 9)}{4 (x - 9)}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x + 1}{x}$ par $\frac{6 (x - 9)}{4 (x - 9)}$ .

$\frac{(x + 1) (6 (x - 9))}{x (4 (x - 9))}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(x + 1) (6 (x - 9))$ .

$\frac{2 ((x + 1) (3 (x - 9)))}{x (4 (x - 9))}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $x (4 (x - 9))$ .

$\frac{2 ((x + 1) (3 (x - 9)))}{2 (x (2 (x - 9)))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((x + 1) (3 (x - 9)))}{2 (x (2 (x - 9)))}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (3 (x - 9))}{x (2 (x - 9))}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (3 (x - 9))}{x (2 (x - 9))}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) \cdot (3)}{x \cdot (2)}$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x + 1)}{x \cdot (2)}$

Étape 5.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 (x + 1)}{2 x}$