Algèbre Exemples

$\frac{a^{2} + 6 a - 7}{2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 1

Factorisez $a^{2} + 6 a - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $6$ .

$- 1, 7$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a^{3}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 4 a^{2} + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 a$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 2 a (2 a) + 2 a} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2}) + 2 a (2 a) + 2 a (1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a (a^{2}) + 2 a (2 a)$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a) + 2 a (1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2 a$ à partir de $2 a (a^{2} + 2 a) + 2 a (1)$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a + 1)} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 a + 1^{2})} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a (a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7)}{2 a {(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 4

Associez.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{2} ((a + 1) (a - 1))}$

Étape 5

Multipliez ${(a + 1)}^{2}$ par $a + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $a + 1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a ((a + 1) {(a + 1)}^{2}) (a - 1)}$

Étape 5.2

Multipliez $a + 1$ par ${(a + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $a + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a ({(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{2}) (a - 1)}$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{1 + 2} (a - 1)}$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3} (a - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 1) (a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3} (a - 1)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 7) (2 a)}{2 a {(a + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + 7) (a)}{a {(a + 1)}^{3}}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 7) a}{a {(a + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 7}{{(a + 1)}^{3}}$