Algèbre Exemples

$| x + 3 | - 1 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$| x + 3 | - 1 = 0 + 0 + {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$| x + 3 | - 1 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 1.3

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$| x + 3 | - 1 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$| x + 3 | - 1 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 1.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$| x + 3 | - 1 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| x + 3 |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 4 + 1$

Étape 2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$| x + 3 | = x^{2} + 4 x + 5$

Étape 3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x + 3 = \pm (x^{2} + 4 x + 5)$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + 3 = x^{2} + 4 x + 5$

Étape 4.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 5 = x + 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 5 - x = 3$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$x^{2} + 3 x + 5 = 3$

Étape 4.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x + 5 - 3 = 0$

Étape 4.5

Soustrayez $3$ de $5$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Étape 4.6

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 4.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 2) = 0$

Étape 4.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.9

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.9.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 2$

Étape 4.11

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + 3 = - (x^{2} + 4 x + 5)$

Étape 4.12

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Étape 4.13

Simplifiez $- (x^{2} + 4 x + 5)$ .

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Étape 4.13.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Étape 4.13.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (x^{2} + 4 x + 5) = x + 3$

Étape 4.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 5 = x + 3$

Étape 4.13.4

Simplifiez

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Étape 4.13.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 5 = x + 3$

Étape 4.13.4.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- x^{2} - 4 x - 5 = x + 3$

Étape 4.14

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.14.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 4 x - 5 - x = 3$

Étape 4.14.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$- x^{2} - 5 x - 5 = 3$

Étape 4.15

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.15.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 5 x - 5 - 3 = 0$

Étape 4.15.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$- x^{2} - 5 x - 8 = 0$

Étape 4.16

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.17

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 5$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18

Simplifiez

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Étape 4.18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 4.18.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.3

Soustrayez $32$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.18.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{- 2}$

Étape 4.18.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.19

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.20

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - 1, - 2, - \frac{5 + i \sqrt{7}}{2}, - \frac{5 - i \sqrt{7}}{2}$