Algèbre Exemples

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} \cdot (a t^{2}) = x$ .

$x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} \cdot (a t^{2}) = x$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{2} (a t^{2})$ .

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Étape 2.1

Associez $a$ et $\frac{1}{2}$ .

$x_{0} + v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2} = x$

Étape 2.2

Associez $\frac{a}{2}$ et $t^{2}$ .

$x_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2} = x$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2} - x = 0$

Étape 4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x_{0} + 2 (v_{0} t) + 2 (\frac{a t^{2}}{2}) + 2 (- x) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x_{0} + 2 v_{0} t + 2 (\frac{a t^{2}}{2}) + 2 (- x) = 0$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x_{0} + 2 v_{0} t + a t^{2} + 2 (- x) = 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x_{0} + 2 v_{0} t + a t^{2} - 2 x = 0$

Étape 4.3

Déplacez $2 x_{0}$ .

$2 v_{0} t + a t^{2} + 2 x_{0} - 2 x = 0$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $2 v_{0} t$ et $a t^{2}$ .

$a t^{2} + 2 v_{0} t + 2 x_{0} - 2 x = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = a$ , $b = 2 v_{0}$ et $c = 2 x_{0} - 2 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{{(2 v_{0})}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (2 x_{0} - 2 x))}}{2 a}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{{(2 v_{0})}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (2 x_{0} - 2 x))}}{2 a}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = a \cdot (2 x_{0} - 2 x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $a \cdot (2 x_{0} - 2 x)$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 v_{0}$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{2^{2} {v_{0}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 {v_{0}}^{2} - 4 u}}{2 a}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 {v_{0}}^{2} - 4 u$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {v_{0}}^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 {v_{0}}^{2} - 4 u}}{2 a}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 {v_{0}}^{2} + 4 (- u)}}{2 a}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 {v_{0}}^{2} + 4 (- u)$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - u)}}{2 a}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a \cdot (2 x_{0} - 2 x)$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - (a \cdot (2 x_{0} - 2 x)))}}{2 a}$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - (a (2 x_{0}) + a (- 2 x)))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - (2 a x_{0} + a (- 2 x)))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - (2 a x_{0} - 2 a x))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - (2 a x_{0}) - (- 2 a x))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - 2 (a x_{0}) - (- 2 a x))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - 2 (a x_{0}) + 2 (a x))}}{2 a}$

Étape 7.1.5.7

Supprimez les parenthèses.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{4 ({v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x)}}{2 a}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm \sqrt{2^{2} ({v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x)}}{2 a}$

Étape 7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 2 v_{0} \pm 2 \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x}}{2 a}$

Étape 7.2

Simplifiez $\frac{- 2 v_{0} \pm 2 \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x}}{2 a}$ .

$t = \frac{- v_{0} \pm \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x}}{a}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - \frac{v_{0} - \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x}}{a}$

$t = - \frac{v_{0} + \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 a x_{0} + 2 a x}}{a}$