Algèbre Exemples

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

Étape 1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ par $4$ .

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

Étape 5

Associez les termes opposés dans $- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

Étape 5.2

Additionnez $- x^{2} + 16 x$ et $0$ .

$- x^{2} + 16 x = 0$

Étape 6

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + 16 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 16 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $- x$ à partir de $16 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

Étape 6.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 16)$ .

$- x (x - 16) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Étape 8

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 9

Définissez $x - 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 16$ égal à $0$ .

$x - 16 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 16) = 0$ vraie.

$x = 0, 16$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 16$ Vrai

$x > 16$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 16$ Vrai

$x > 16$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 16$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 \leq x \leq 16$

Notation d’intervalle :

$[0, 16]$

Étape 15