Algèbre Exemples

$- \frac{128}{27}$ , $\frac{32}{9}$ , $- \frac{8}{3}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{3}{4}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{3}{4}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = - \frac{128}{27}$ et $r = - \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} {(- \frac{3}{4})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = - \frac{128}{27} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.2

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1}$ par $- 1$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.3

Associez les termes opposés dans $n - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 0} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{128}{27} \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n}$ et $\frac{128}{27}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128}{27} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Étape 7

Associez.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de ${(- 1)}^{n}$ .

$a_{n} = \frac{- {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 8.2

Réécrivez $- {(- 1)}^{n - 1}$ comme $- 1 {(- 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(- 1)}^{n - 1} \cdot 128 \cdot 3^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 8.3

Réécrivez $3^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1}$ comme ${(3 \cdot - 1)}^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{- 1 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1} \cdot 128}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 8.4

Multipliez $128$ par $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(3 \cdot - 1)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a_{n} = \frac{- 128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{n} = - \frac{128 {(- 3)}^{n - 1}}{27 \cdot 4^{n - 1}}$

Étape 11

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{(4) - 1}}{27 \cdot 4^{(4) - 1}}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 {(- 3)}^{3}}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Étape 12.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{4 - 1}}$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 4^{3}}$

Étape 13.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$a_{4} = - \frac{128 \cdot - 27}{27 \cdot 64}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Multipliez $128$ par $- 27$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{27 \cdot 64}$

Étape 14.2

Multipliez $27$ par $64$ .

$a_{4} = - \frac{- 3456}{1728}$

Étape 14.3

Divisez $- 3456$ par $1728$ .

$a_{4} = 2$

Étape 14.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$a_{4} = 2$