Algèbre Exemples

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z}{4 z^{2} - 25} - \frac{- 7 z^{2} + 4 z + 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z - (- 7 z^{2} + 4 z + 25)}{4 z^{2} - 25}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z - (- 7 z^{2}) - (4 z) - 1 \cdot 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z + 7 z^{2} - (4 z) - 1 \cdot 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z + 7 z^{2} - 4 z - 1 \cdot 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{- 5 z^{2} + 9 z + 7 z^{2} - 4 z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1

Additionnez $- 5 z^{2}$ et $7 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z - 4 z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 3.2

Soustrayez $4 z$ de $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 5 z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 5 (z) - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 5$ plus $10$

$\frac{2 z^{2} + (- 5 + 10) z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 z^{2} - 5 z + 10 z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 z^{2} - 5 z) + 10 z - 25}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{z (2 z - 5) + 5 (2 z - 5)}{4 z^{2} - 25}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 z - 5$ .

$\frac{(2 z - 5) (z + 5)}{4 z^{2} - 25}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $4 z^{2}$ comme ${(2 z)}^{2}$ .

$\frac{(2 z - 5) (z + 5)}{{(2 z)}^{2} - 25}$

Étape 5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(2 z - 5) (z + 5)}{{(2 z)}^{2} - 5^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 z$ et $b = 5$ .

$\frac{(2 z - 5) (z + 5)}{(2 z + 5) (2 z - 5)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 z - 5$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 z - 5) (z + 5)}{(2 z + 5) (2 z - 5)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 5}{2 z + 5}$