Algèbre Exemples

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Étape 1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2}{x} \cdot \frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{(x - 1) (x^{2} - x)}{(x - 1) (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{3}{x - 1}$ par $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{3}{x - 1}$ par $\frac{x (x^{2} - x)}{x (x^{2} - x)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4}{x^{2} - x}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{4}{x^{2} - x}$ par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - (\frac{4}{x^{2} - x} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)})$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{4}{x^{2} - x}$ par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x ((x - 1) (x^{2} - x))} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Étape 1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x - 1) (x^{2} - x))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{(x - 1) (x (x^{2} - x))} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Étape 1.8

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x (x^{2} - x))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{(x^{2} - x) (x (x - 1))}$

Étape 1.9

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - x) (x (x - 1))$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} + \frac{3 (x (x^{2} - x))}{x (x - 1) (x^{2} - x)} - \frac{4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 ((x - 1) (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Développez $(x - 1) (x^{2} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (x^{2} - x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 (x^{2} - x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{1 + 2} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + x (- x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (x^{3} - x \cdot x - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - (x \cdot x) - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} - 1 (- x)) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + 1 x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2 x^{2} + x) + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x (x^{2} - x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x \cdot x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1} x^{2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{1 + 2} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} + x (- x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x \cdot x) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - (x \cdot x)) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 (x^{3} - x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} + 3 (- x^{2}) - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x \cdot x + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.12

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} + x \cdot - 1)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.13

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - 1 \cdot x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.14

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 (x^{2} - x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.15

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.2.16

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.1

Additionnez $2 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 3 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 4 x^{2} + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x + 4 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 2.3.4

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{3}$ .

$\frac{x (5 x^{2}) - 11 x^{2} + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 11 x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + 6 x}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x (5 x^{2}) + x (- 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{2}) + x (- 11 x)$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{2} - 11 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{x (5 x^{2} - 11 (x) + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 5$ plus $- 6$

$\frac{x (5 x^{2} + (- 5 - 6) x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (5 x^{2} - 5 x - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x ((5 x^{2} - 5 x) - 6 x + 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (5 x (x - 1) - 6 (x - 1))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x^{2} - x)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x - x)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) (x (x - 1))}$

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x (x - 1) x (x - 1)}$

Étape 4.2

Associez les exposants.

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x (x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1} x^{1} (x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{1 + 1} (x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} (x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} (x - 1))}$

Étape 4.2.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})}$

Étape 4.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x - 1) (5 x - 6)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 1) (5 x - 6)$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((x - 1) (5 x - 6))}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{x {(x - 1)}^{2}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (5 x - 6)}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x - 6}{x (x - 1)}$