Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{x} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4^{x}}{3^{x}} - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Associez.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} = 1$

Étape 1.2.4

Multipliez les deux côtés par $2 \cdot 3^{x}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x}) = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1.1

Simplifiez $\frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} (2 \cdot 3^{x})$ .

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Étape 1.2.5.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3^{x}$ .

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 (3^{x})} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 \cdot 4^{x}}{2 \cdot 3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3^{x}$ .

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Étape 1.2.5.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4^{x}}{3^{x}} \cdot 3^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 4^{x} = 1 (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Multipliez $2 \cdot 3^{x}$ par $1$ .

$3 \cdot 4^{x} = 2 \cdot 3^{x}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3 \cdot 4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.6.2

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Réécrivez $\ln (3 \cdot 4^{x})$ comme $\ln (3) + \ln (4^{x})$ .

$\ln (3) + \ln (4^{x}) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.6.2.2

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2 \cdot 3^{x})$

Étape 1.2.6.3

Développez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Réécrivez $\ln (2 \cdot 3^{x})$ comme $\ln (2) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + \ln (3^{x})$

Étape 1.2.6.3.2

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + x \ln (4) = \ln (2) + x \ln (3)$

Étape 1.2.6.4

Remettez dans l’ordre $\ln (3)$ et $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (3) = \ln (2) + x \ln (3)$

Étape 1.2.6.5

Remettez dans l’ordre $\ln (2)$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (4) + \ln (3) = x \ln (3) + \ln (2)$

Étape 1.2.6.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (4) + \ln (3) - x \ln (3) - \ln (2) = 0$

Étape 1.2.6.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (4) - x \ln (3) + \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 1.2.6.8

Soustrayez $\ln (\frac{3}{2})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (4) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Étape 1.2.6.9

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (4) - x \ln (3)$ .

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Étape 1.2.6.9.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (4)$ .

$x (\ln (4)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{3}{2})$

Étape 1.2.6.9.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Étape 1.2.6.9.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (4)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (4) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Étape 1.2.6.10

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$

Étape 1.2.6.11

Divisez chaque terme dans $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (4) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.11.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (4) - \ln (3)) = - \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (4) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Étape 1.2.6.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4) - \ln (3)$ .

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Étape 1.2.6.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (4) - \ln (3))}{\ln (4) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Étape 1.2.6.11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Étape 1.2.6.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{0} - 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{4^{0}}{3^{0}} - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Associez.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Étape 2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $3^{0}$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 4^{0}$ .

$y = \frac{3 (4^{0})}{2 \cdot 3^{0}} - 1$

Étape 2.2.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 3^{0}$ .

$y = \frac{3 (4^{0})}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Étape 2.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \cdot 4^{0}}{3 (2 \cdot 3^{- 1})} - 1$

Étape 2.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4^{0}}{2 \cdot 3^{- 1}} - 1$

Étape 2.2.2.1.4

Placez $3^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$y = \frac{4^{0} \cdot 3}{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = \frac{1 \cdot 3}{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = \frac{3}{2} - 1$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{3 - 2}{2}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{1}{2})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (4) - \ln (3)}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{1}{2})$

Étape 4