Algèbre Exemples

$f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + x$

Étape 1

Définissez $x^{5} - 3 x^{3} + x$ égal à $0$ .

$x^{5} - 3 x^{3} + x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 3 x^{3} + x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} + x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x = 0$

Étape 2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{4} - 3 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{4} - 3 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.4.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.4.2.6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 2.61803398$

${(x^{2})}^{1} = 0.38196601$

Étape 2.4.2.7

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 2.61803398$

Étape 2.4.2.8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.61803398}$

Étape 2.4.2.8.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.8.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2.61803398}$

Étape 2.4.2.8.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2.61803398}$

Étape 2.4.2.8.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}$

Étape 2.4.2.9

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.38196601$

Étape 2.4.2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.2.10.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 0.38196601$

Étape 2.4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.38196601}$

Étape 2.4.2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{0.38196601}$

Étape 2.4.2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{0.38196601}$

Étape 2.4.2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Étape 2.4.2.11

La solution à $x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$ est $x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$ .

$x = \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{4} - 3 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, \sqrt{2.61803398}, - \sqrt{2.61803398}, \sqrt{0.38196601}, - \sqrt{0.38196601}$

Forme décimale :

$x = 0, 1.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots, 0.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Étape 4