Algèbre Exemples

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{5} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $i$ et $\frac{2}{5}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \cdot 2}{5})}^{2}$

Étape 1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Étape 2

Développez $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{2 i}{5}) - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 i}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{- 2 i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \sqrt{2} \frac{- i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.5

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{- i}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} (- i)}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.6

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} + \frac{- \sqrt{2} i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 i}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- 2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{2 (- i)}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{2 (- i)}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- i}{5} \sqrt{2} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.9

Associez $\frac{- i}{5}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} + \frac{- i \sqrt{2}}{5} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} - \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$

Étape 3.1.11

Multipliez $- \frac{2 i}{5} (- \frac{2 i}{5})$ .

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Étape 3.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + 1 \frac{2 i}{5} \frac{2 i}{5}$

Étape 3.1.11.2

Multipliez $\frac{2 i}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Étape 3.1.11.3

Multipliez $\frac{2 i}{5}$ par $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{2 i (2 i)}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i i}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 (i^{1} i)}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 (i^{1} i^{1})}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.11.9

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 i^{2}}{25}$

Étape 3.1.12

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{25}$

Étape 3.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} + \frac{- 4}{25}$

Étape 3.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} - \frac{4}{25}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{4}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $50$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25}{2 \cdot 25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4}{25} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4 \cdot 2}{25 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.4.4

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{25}{50} - \frac{4 \cdot 2}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 4 \cdot 2}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{25 - 8}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $8$ de $25$ .

$\frac{17}{50} - \frac{\sqrt{2} i}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{17}{50} + \frac{- \sqrt{2} i - i \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{17}{50} + \frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{5}$

Étape 4.3

Soustrayez $i \sqrt{2}$ de $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{17}{50} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{5}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{17}{50} - \frac{2 i \sqrt{2}}{5}$