Algèbre Exemples

$x^{5} + x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 4$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 5

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 4) (u + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 9

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4$

Étape 10

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + u^{2} - 3 u - 4$

Étape 11

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 11.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (u - 4) (u + 1)$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1)$

Étape 13

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)$

Étape 14

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Étape 15

Factorisez $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 15.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ à partir de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Étape 15.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (1)$

Étape 15.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) (x + 1)$