Algèbre Exemples

$\frac{- 2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2) x}{x - 1} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Multipliez $2$ par $x$ .

$- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, (x + 1) (x - 1), x$

Étape 2.2

Since $x - 1, (x + 1) (x - 1), x$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x - 1, (x + 1) (x - 1), x$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x - 1, x + 1, x - 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x - 1, x + 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 1) (x + 1)$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x (x - 1) (x + 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x}$ par $x (x - 1) (x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x}$ par $x (x - 1) (x + 1)$ .

$- \frac{2 x}{x - 1} (x (x - 1) (x + 1)) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{x - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 x}{x - 1} (x (x - 1) (x + 1)) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{- 2 x}{x - 1} ((x - 1) (x (x + 1))) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{x - 1} ((x - 1) (x (x + 1))) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 x (x (x + 1)) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x) (x + 1) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) (x + 1) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 1} (x + 1) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x^{2} (x + 1) + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.7.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.9

Annulez le facteur commun de $(x - 1) (x + 1)$ .

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Étape 3.2.1.9.1

Factorisez $(x - 1) (x + 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 1) (1)} (x (x - 1) (x + 1)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.9.2

Factorisez $(x - 1) (x + 1)$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1) (x)) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1) x) = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + (x + 3) x = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot x + 3 x = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.1.11

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + x^{2} + 3 x = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = \frac{1}{x} (x (x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 1) (x + 1)$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = \frac{1}{x} (x ((x - 1) (x + 1)))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = \frac{1}{x} (x ((x - 1) (x + 1)))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = (x - 1) (x + 1)$

Étape 3.3.2

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x (x + 1) - 1 (x + 1)$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3.1.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x \cdot x - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x = x^{2} - 1$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - x^{2} = - 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x = - 1$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 4.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 4.3.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.3.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 2 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.6

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 + 3 + 1$

Étape 4.3.3.8

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$- 1 + 1$

Étape 4.3.3.9

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 4.3.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1}{x - 1}$

Étape 4.3.5

Divisez $- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 4.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 4.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

Étape 4.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 4.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 4.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 4.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 4.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 4 x$

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 4.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Étape 4.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 4.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 4.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 4.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 4.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Étape 4.3.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 2 x^{2} - 4 x - 1$

Étape 4.3.6

Écrivez $- 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$- 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.6

Définissez $- 2 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $- 2 x^{2} - 4 x - 1$ égal à $0$ .

$- 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $- 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Étape 4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 4}$

Étape 4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 4.6.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (- 2 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{- 2 x}{x - 1} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{1}{x}$ vrai.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1.70710678 \dots, - 0.29289321 \dots$