Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ comme une équation.

$y = 3 x^{- \frac{5}{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 y^{- \frac{5}{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ .

$3 y^{- \frac{5}{2}} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{- \frac{5}{2}} = x$ par $3$ .

$\frac{3 y^{- \frac{5}{2}}}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Placez $y^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{\frac{5}{2}}, 3$

Étape 3.3.2

Comme $y^{\frac{5}{2}}, 3$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 3$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{\frac{5}{2}}$ .

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.3.5

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 3.3.6

Le plus petit multiple commun de $1, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 3.3.7

Le plus petit multiple commun de $y^{\frac{5}{2}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.3.8

Le plus petit multiple commun pour $y^{\frac{5}{2}}, 3$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 y^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ par $3 y^{\frac{5}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{3}$ par $3 y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} (3 y^{\frac{5}{2}}) = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Étape 3.4.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y^{\frac{5}{2}}} y^{\frac{5}{2}} = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Étape 3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{x}{3} (3 y^{\frac{5}{2}})$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 = 3 \frac{x}{3} y^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 = x y^{\frac{5}{2}}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ .

$x y^{\frac{5}{2}} = 3$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{\frac{5}{2}} = 3$ par $x$ .

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{\frac{5}{2}}}{x} = \frac{3}{x}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $y^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{5}{2}} = \frac{3}{x}$

Étape 3.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.1.1.2

Simplifiez

$y = {(\frac{3}{x})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x}$ .

$y = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 x^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(3 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}))}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 5.2.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}}$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.2.3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Étape 5.2.3.4.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}}$

Étape 5.2.3.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.3.4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.3.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Étape 5.2.3.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $3^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = 3^{\frac{2}{5}} (\frac{x}{3^{\frac{2}{5}}})$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 x^{- \frac{5}{2}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.3.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 {(\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{{(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.5.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{{(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.3.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}})$

Étape 5.3.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Étape 5.3.6.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Étape 5.3.6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.6.2

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$ est l’inverse de $f (x) = 3 x^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3^{\frac{2}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}}$