Algèbre Exemples

$- x^{5} + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- x^{5} + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 2

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- x^{5} + 36 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- x^{5}$ .

$- x^{3} (x^{2}) + 36 x^{3} - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 2.2

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $36 x^{3}$ .

$- x^{3} (x^{2}) - x^{3} (- 36) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 2.3

Factorisez $- x^{3}$ à partir de $- x^{3} (x^{2}) - x^{3} (- 36)$ .

$- x^{3} (x^{2} - 36) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- x^{3} (x^{2} - 6^{2}) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$- x^{3} ((x + 6) (x - 6)) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 147 x - 90$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 22 \cdot - 90 = 1980$ et dont la somme est $b = - 147$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 147$ à partir de $- 147 x$ .

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 147 (x) - 90$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 147$ comme $- 15$ plus $- 132$

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} + (- 15 - 132) x - 90$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) - 22 x^{2} - 15 x - 132 x - 90$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x^{2} - 15 x) - 132 x - 90$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + x (- 22 x - 15) + 6 (- 22 x - 15)$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 22 x - 15$ .

$- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x - 15) (x + 6)$

Étape 6

Factorisez $x + 6$ à partir de $- x^{3} (x + 6) (x - 6) + (- 22 x - 15) (x + 6)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $- x^{3} (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (- 22 x - 15) (x + 6)$

Étape 6.2

Factorisez $x + 6$ à partir de $(- 22 x - 15) (x + 6)$ .

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (x + 6) (- 22 x - 15)$

Étape 6.3

Factorisez $x + 6$ à partir de $(x + 6) (- x^{3} (x - 6)) + (x + 6) (- 22 x - 15)$ .

$(x + 6) (- x^{3} (x - 6) - 22 x - 15)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 6) (- x^{3} x - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Étape 8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Déplacez $x$ .

$(x + 6) (- (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 6) (- (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 6) (- x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(x + 6) (- x^{4} - x^{3} \cdot - 6 - 22 x - 15)$

Étape 9

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$(x + 6) (- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15)$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Réécrivez $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ en forme factorisée.

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Étape 10.1.1

Factorisez $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 10.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 10.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 6 {(- 1)}^{3} - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 6 \cdot - 1 - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 1 - 6 - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.6

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$- 7 - 22 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.1.3.7

Multipliez $- 22$ par $- 1$ .

$- 7 + 22 - 15$

Étape 10.1.1.3.8

Additionnez $- 7$ et $22$ .

$15 - 15$

Étape 10.1.1.3.9

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0$

Étape 10.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15}{x + 1}$

Étape 10.1.1.5

Divisez $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ par $x + 1$ .

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Étape 10.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

Étape 10.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{4}$	+	$6 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$22 x$	-	$15$

Étape 10.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{3}$
$x$	+	$1$	-	$x^{4}$	+	$6 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$22 x$	-	$15$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Étape 10.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 10.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

Étape 10.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 10.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 10.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 10.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{3} + 7 x^{2}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 10.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 10.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

Étape 10.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

Étape 10.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Étape 10.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{2} - 7 x$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Étape 10.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

Étape 10.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

Étape 10.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

Étape 10.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Étape 10.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x - 15$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Étape 10.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$22 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$22 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

$0$

Étape 10.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$

Étape 10.1.1.6

Écrivez $- x^{4} + 6 x^{3} - 22 x - 15$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 6) ((x + 1) (- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15))$

Étape 10.1.2

Factorisez $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 10.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 10.1.2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.1.2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- - 1 + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 7 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 7 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 + 7 - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.6

Additionnez $1$ et $7$ .

$8 - 7 \cdot - 1 - 15$

Étape 10.1.2.3.7

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$8 + 7 - 15$

Étape 10.1.2.3.8

Additionnez $8$ et $7$ .

$15 - 15$

Étape 10.1.2.3.9

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0$

Étape 10.1.2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15}{x + 1}$

Étape 10.1.2.5

Divisez $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ par $x + 1$ .

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Étape 10.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

Étape 10.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$

Étape 10.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 10.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 10.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 10.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 10.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 10.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 10.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} + 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 10.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$

Étape 10.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Étape 10.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$

Étape 10.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

Étape 10.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

Étape 10.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$15$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

Étape 10.1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 8 x - 15$

Étape 10.1.2.6

Écrivez $- x^{3} + 7 x^{2} - 7 x - 15$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 8 x - 15)))$

Étape 10.1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1.3.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1.3.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 15 = 15$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 10.1.3.1.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 8 (x) - 15)))$

Étape 10.1.3.1.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $3$ plus $5$

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + (3 + 5) x - 15)))$

Étape 10.1.3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x^{2} + 3 x + 5 x - 15)))$

Étape 10.1.3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.1.3.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) ((- x^{2} + 3 x) + 5 x - 15)))$

Étape 10.1.3.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (x (- x + 3) - 5 (- x + 3))))$

Étape 10.1.3.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 3$ .

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) ((- x + 3) (x - 5))))$

Étape 10.1.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 6) ((x + 1) ((x + 1) (- x + 3) (x - 5)))$

Étape 10.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 6) ((x + 1) (x + 1) (- x + 3) (x - 5))$

Étape 10.1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 10.1.4.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1} (x + 1) (- x + 3) (x - 5))$

Étape 10.1.4.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (- x + 3) (x - 5))$

Étape 10.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 6) ({(x + 1)}^{1 + 1} (- x + 3) (x - 5))$

Étape 10.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 6) ({(x + 1)}^{2} (- x + 3) (x - 5))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- x + 3) (x - 5)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x + 3$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x) + 3) (x - 5)$

Étape 11.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x) - 1 (- 3)) (x - 5)$

Étape 11.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} (- (x - 3)) (x - 5)$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 6) {(x + 1)}^{2} \cdot - 1 (x - 3) (x - 5)$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Factorisez le signe négatif.

$- (((x + 6) {(x + 1)}^{2} (x - 3)) (x - 5))$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 6) {(x + 1)}^{2} (x - 3) (x - 5)$