Algèbre Exemples

$\frac{6 x^{3} - 294 x}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} - 294 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{6 x (x^{2}) - 294 x}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 1.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 294 x$ .

$\frac{6 x (x^{2}) + 6 x (- 49)}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 1.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 49)$ .

$\frac{6 x (x^{2} - 49)}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 1.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{6 x (x^{2} - 7^{2})}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{4} + 39 x^{3} + 126 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x^{2}) + 39 x^{3} + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $39 x^{3}$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (13 x) + 126 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $126 x^{2}$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (13 x) + 3 x^{2} (42)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2.1.4

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (13 x)$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x^{2} + 13 x) + 3 x^{2} (42)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2.1.5

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x^{2} + 13 x) + 3 x^{2} (42)$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x^{2} + 13 x + 42)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 13 x + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $13$ .

$6, 7$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} ((x + 6) (x + 7))} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x - 7}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x - 7}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{6 x (x + 7) (x - 7)}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x - 7}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x - 7$ à partir de $6 x (x + 7) (x - 7)$ .

$\frac{(x - 7) (6 x (x + 7))}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x - 7}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 7) (6 x (x + 7))}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x - 7}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x (x + 7)}{3 x^{2} (x + 6) (x + 7)} \cdot ((x + 6) (x - 6))$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $3 x^{2} (x + 6) (x + 7)$ .

$\frac{6 x (x + 7)}{(x + 6) (3 x^{2} (x + 7))} \cdot ((x + 6) (x - 6))$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x (x + 7)}{(x + 6) (3 x^{2} (x + 7))} \cdot ((x + 6) (x - 6))$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x (x + 7)}{3 x^{2} (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x (x + 7)$ .

$\frac{3 (2 x (x + 7))}{3 x^{2} (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 (2 x (x + 7))}{3 (x^{2} (x + 7))} \cdot (x - 6)$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 x (x + 7))}{3 (x^{2} (x + 7))} \cdot (x - 6)$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x (x + 7)}{x^{2} (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x (x + 7)$ .

$\frac{x (2 (x + 7))}{x^{2} (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x + 7)$ .

$\frac{x (2 (x + 7))}{x (x (x + 7))} \cdot (x - 6)$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (x + 7))}{x (x (x + 7))} \cdot (x - 6)$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x + 7)}{x (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 7)}{x (x + 7)} \cdot (x - 6)$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x} \cdot (x - 6)$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $x - 6$ .

$\frac{2 (x - 6)}{x}$